Háromismeretlenes egyenletrendszer

Az elsőfokú háromismeretlenes egyenletrendszer ismertetése a megoldóképlet és kalkulátor alatt található.

a·x + b·y + c·z = d

e·x + f·y + g·z = h

i·x + j·y + k·z = m

(ahol a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, m konstansok és x, y, z az ismeretlen változók)

·x+ ·y+ ·z=

·x+ ·y= ·z=

·x+ ·y= ·z=

Súgó

x = ?

y = ?

z = ?


 

Elsőfokú háromismeretlenes egyenletrendszer megoldásához három képlet szükséges. Feltételezzük, hogy x, y és z a három ismeretlen, akkor az egyenletrendszer általános alakja:

a·x + b·y + c·z = d

e·x + f·y + g·z = h

i·x + j·y + k·z = m

ahol a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k és m konstansok, és a fő kérdés, hogy milyen x, y és z értékekre, mindhárom egyenlet állítása helyes lesz (jobb és bal oldala egyenlő lesz).

Megjegyzés: az elsőfokú rendszerben nincsenek olyan tagok, ahol az ismeretlenek szorzata is szerepel. Pl. nincs x·y vagy z·x tag.

 

Megoldás menete

A háttérben a számítógép is ezeket a képleteket használja a háromismeretlenes egyenletek megoldásánál:

(1) `a*x+b*y+c*z=d`

(2) `e*x+f*y+g*z=h`

(3) `i*x+j*y+k*z=m`


(1)=> `z=(d-a*x-b*y)/c`

a (2) és (3) képletbe beírjuk a z egyenletét, és máris kétismeretlenes egyenletrendszerrel van dolgunk.

Akkor kezdjük, hosszú lesz:

(2) `e*x+f*y+g*(d-a*x-b*y)/c=h`

(3) `i*x+j*y+k*(d-a*x-b*y)/c=m`


c-vel végigszorzom:

`c*e*x+c*f*y+g*(d-a*x-b*y)=c*h`

`c*i*x+c*j*y+k*(d-a*x-b*y)=c*m`


`c*e*x+c*f*y+g*d-g*a*x-g*b*y=c*h`

`c*i*x+c*j*y+k*d-k*a*x-k*b*y=c*m`


`c*e*x+g*a*x+c*f*y-g*b*y=c*h-g*d`

`c*i*x-k*a*x+c*j*y-k*b*y=c*m-k*d`


`x*(c*e-g*a)+y*(c*f-g*b)=c*h-g*d`

`x*(c*i-k*a)+y*(c*j-k*b)=c*m-k*d`


Elsőfokú kétismeretlenes képletet alkalmazva, y kifejezhető:

`y=( (c*e-g*a)*(c*m-k*d)-(c*i-k*a)*(c*h-g*d) )/( (c*e-g*a)*(c*j-k*b)-(c*i-k*a)*(c*f-g*b) )`

 

ha az y már megvan, jöhet az x (szintén a kétismeretlenes egyenletrendszer képletéből):

`x=(c*h-g*d-y*(c*f-g*b))/(c*e-g*a)`

 

És a végén már a z is kiszámolható, ezzel a képlettel kezdtünk:

`z=(d-a*x-b*y)/c`

 

Van három feltétel aminek teljesülnie kell. Mivel nullával nem oszthatunk:

`c!=0`

`c*e!=g*a`

és ezt sajnos nem tudtam tovább egyszerüsíteni, ha valakinek sikerül, kérem értesítsen (az y képlet nevezője):

`c*e*j+i*g*b+k*a*f!=c*i*f+e*k*b+g*a*j`

 


Képletek megjelenítésére mathjax.org skriptet használtam.

© 2018 matek.com Használati feltételek