Másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszer

A másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszer ismertetése a megoldóképlet és kalkulátor alatt található.

a·x + b·y + c·x·y = d

e·x + f·y + g·x·y = h

(ahol a, b, c, d, e, f, g, h konstansok és x, y az ismeretlen változók)

·x+ ·y+ ·x·y=

·x+ ·y= ·x·y=

Súgó

Diszkrimináns Δ= ?

x1 = ?

y1 = ?

x2 = ?

y2 = ?


 

Másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszer fogalma

Egy olyan két kétismeretlenes két egyenletből álló rendszer, aminek a megoldásához másodfokú egyismeretlenes egyenlet alkalmazása szükséges. Tehát, a másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldásához két képlet szükséges. Feltételezzük, hogy x és y a két ismeretlen, akkor az egyenletrendszer általános alakja:

a·x + b·y + c·x·y = d

e·x + f·y + g·x·y = h

ahol a, b, c, d, e, f, g és h konstansok, és az a kérdés, hogy milyen x és y értékekre, mindkét egyenlet állítása helyes lesz (jobb és bal oldala egyenlő lesz).

Lehet látni, hogy a két egyenlet önmagában elsőfoku egyenlet (nincs benne x² vagy y² tag), de az egyenletrendszer másodfokú, mivel megoldásához egyismeretlenes másodfokú egyenlet (Ax²+Bx+C=0) megoldóképlete alkalmazása is szükséges. Részletek a levezetésben lent.

Másodfokú egyenletrendszernek lehet nulla, egy vagy két megoldása, ez a diszkrimináns előjelétől függ.

Megoldás menete

Háttérben a számítógép így oldja meg az imént említett másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszert:

(1) `a*x+b*y+c*x*y=d`

(2) `e*x+f*y+g*x*y=h`


(1)=> `a*x+c*x*y=d-b*y`

 

`x*(a+c*y)=d-b*y`

 

`x=(d-b*y)/(a+c*y)`

 

ezt behelyettesítve a második egyenletbe:

(2) `e*(d-b*y)/(a+c*y)+f*y+g*y*(d-b*y)/(a+c*y)=h`

 

beszorozva (a+cy)-nal:

`e*(d-b*y)+f*y*(a+c*y)+g*y*(d-b*y)=h*(a+c*y)`

 

`e*d-e*b*y+f*y*a+f*y^2*c+g*y*d-g*b*y^2=h*a+h*c*y`

 

`f*y^2*c-g*b*y^2+f*y*a+g*y*d-e*b*y-h*c*y=h*a-e*d`

 

`y^2*(f*c-g*b)+y*(f*a+g*d-e*b-h*c)+(e*d-h*a)=0`

másodfokú egyenlet megoldóképletével megtalálható az y értéke(i). Hogy ne keverjük az eddigi jelölésekkel, nagy betűvel jelölöm a másodfokú egyenlet konstansait:

`y_(1,2)=(-B+-sqrt(B^2-4*A*C))/(2*A)`

ahol

`A=f*c-g*b`

`B=f*a+g*d-e*b-h*c`

`C=e*d-h*a`

Diszkrimináns:   `Δ=B^2-4*A*C`

mivel `A!=0`, azt jelenti, hogy `f*x!=g*b`

és a gyök alatti rész nem lehet negatív. Ha a gyök alatti rész nulla, akkor csak egy megoldás van. Ha viszont pozitív, akkor két megoldás is lehetséges.

Ha már y megvan, jöhet az x az (1) képletből:

`x=(d-b*y)/(a+c*y)`

természetesen `a+c*y!=0`

Ha y-ra két megoldás van, akkor a fenti képletet is kétszer kell alkalmazni, mert két x is kiszámolható.

 


Képletek megjelenítésére mathjax.org skriptet használtam.

© 2018 matek.com Használati feltételek