Irracionális számok

Definíció: Azokat a számokat, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként (tehát nem racionálisak), irracionális számoknak nevezünk. Irracionális számok halmazának a jele Q*. Irracionális számok nem periodikus végtelen tizedestörtekből állnak. 2

És egy fontos tulajdonság: hogy ha egy irracionális számot összeadunk vagy összeszorozunk racionális számmal, irracionális számot kapunk. Ezt a tulajdonságot használja a lenti kalkulátor, hogy létrehozzon néhány irracionális számot. Természetesen nem lehet kiírni az összes tizedes számot, mivel azok száma végtelen, de kívánt pontosságig lehet megtekinteni a létrehozott Q* számot, és lehet megfigyelni, hogy a számjegyek között nincs periodikus ismétlődés.

Néhány irracionális szám létrehozása:

Csak példának, kérek egy racionális számot (két egész hányadosa) és egy pozitív egész számot, aminek kiszámolom a négyzetgyökét (olyan szám ami nem négyzete egy egész számnak, tehát nem 4, 9, 16, 25, 36 stb.). Két szám összege vagy szorzata szintén irracionális szám lesz:

racionális szám (két egész szám hányadosa):
művelet
pozitív egész szám:
pontosság (max 5.000)
Súgó 
A kalkulátorral létrehozandó irracionális számok csak apró töredéke a Q* teljes halmazának, de remélem segít a megértésükben

Eredmény, a létrehozott irracionális szám:

 

Matematikusok segítségét kérem:

Sajnos erre nem találtam irodalmat, igaz-e a következő állítás (mivel a fenti irracionális szám generátor ezt a feltevést használja):

Legyen x egy pozitív egész szám. Ha `sqrt(x)` nem egész szám, akkor irracionális szám lesz. (???)

Példa irracionális számokra:

Vannak az úgynevezett transzcendens számok, melyek olyan irracionális számok, amelyek nem gyökei semmilyen racionális együtthatójú algebrai egyenletnek. Ilyenek pl. a lent leírt π vagy e szám.

Egyik legismertebb transzcendens irracionális szám a PI szám (π), eddig több milliárd tizedes pontosságig határozták meg, de nincs periodikus ismétlődés a számjegyekben:

π≈3,141592653589793238462... (és nincs periodikus ismétlődés)

A második legfontosabb matematikai állandó az Euler-féle szám (e), szintén transzcendens szám:

e≈2,7182818284590452... (és nincs periodikus ismétlődés)

 

És vannak (nem transzcendens) irracionális számok, amelyek gyökei racionális együtthatójú algebrai egyenletnek, pl. `sqrt(2)`, `sqrt(3)`, stb. Pl. x³-2=0 egyenletnek `x=root(3)(2)` a megoldás.

`sqrt(2)`=1,414213562373... (és nincs periodikus ismétlődés)

és a kalkulátorral is létrehozható irracionális számok pl:

`3/4*sqrt(2)`=1,060660171779821... (és nincs periodikus ismétlődés)

vagy

`1/2+sqrt(2)`=1,914213562373095... (és nincs periodikus ismétlődés)

 


Kerekítés nélküli osztásra a bignumber.js szkriptet használtam.

© 2018 matek.com Használati feltételek